Programa – XIII ENAMA

O problema de estender a teoria clássica das funções complexas analíticas a contextos mais gerais foi objeto da pesquisa de um grande número de matemáticos no início do século passado tendo, então, se desenvolvido em diferentes direções. Na primeira metade do século XX os trabalhos de L. M. Graves e de A. E. Taylor levaram a uma teoria satisfatória de aplicações holomorfas entre espaços de Banach complexos. E esta a definição usada na subárea da Análise Funcional conhecida como holomorfia.

Por outro lado, no início da década dos 40, E. R. Lorch propôs uma forma muito natural de estender às álgebras de Banach complexas de dimensão infinita o conceito
de funções analíticas de uma variável. Toda aplicação analítica no sentido de Lorch é holomorfas mas nem toda aplicação holomorfa é analítica no sentido de Lorch.
Sob muitos aspectos a definição proposta por Lorch é mais restritiva do que a de aplicação holomorfa em dimensão infinita usada na holomorfia. Por outro lado (e por causa disto) a teoria com base na definição de Lorch é, em muitos sentidos, mais rica do que a teoria hoje conhecida como Holomorfia. Nesta palestra vamos apresentar resultados obtidos nos últimos 10 anos no contexto das aplicações analíticas no sentido de Lorch.

Given a non-necessarily Hausdorff, topologically free, twisted étale groupoid (G ,L), we consider its “essential groupoid C*-algebra”, denoted C*_ess(G, L), obtained by completing C_c(G, L) with the smallest among all C*-seminorms coinciding with the uniform norm on C_c(G^0). The inclusion of C*-algebras “C_0(G^0) ⊆ C*_ess(G, L)” is then proven to satisfy a list of properties characterizing it as what we call a “weak Cartan inclusion”. We then prove that every weak Cartan inclusion (A, B), with B separable, is modeled by a twisted étale groupoid, as above.  This result is inspired by the cellebrated Feldman-Moore Theorem on ergodic equivalence relations published in 1975, and it generalizes subsequent results proved by Kumjian in 1986 and by Renault in 2008.  This talk is based on joint work with D. Pitts.

A Teoria Geométrica da Medida (TGM) reúne ferramentas importantes para o estudo de diversos assuntos em Análise e Equações Diferenciais Parciais, incluindo os chamados problemas de fronteira livre. Neste mini-curso vamos introduzir alguns elementos básicos da TGM, nomeadamente: a medida de Hausdorff, fórmulas de área e co-área, funções fracamente diferenciáveis, o espaço BV e conjuntos de perímetro finito, a aproximação por funções de classe C1 e a noção de variedades. Dentre as aplicações que vislumbramos, incluem-se: a conexão entre a medida de Hausdorff e a regularidade em espaços de Hölder, a relação entre fórmulas de (co-)área e a estimativa ABP, maneiras de medir a fronteira livre em problemas-modelo da teoria e o fluxo de Brakke.