Since Gowers’ seminal work connecting combinatorics to functional analysis, combinatorial
methods have been widely used in several Banach space constructions.We will give an overview of the methods and types of constructions of Banach spaces using combinatorial methods.

In this talk we consider results about the local and global dynamics for two important dispersive-dissipative models with quadratic nonlinearities, which appear in different physical contexts. In particular, we consider the Schr ̈odinger-Debye and a generalized Gross-Pitaevskii systems and in both cases we will present interesting results about global well-posedness, formations of singularities and behavior of the solutions depending on the important physivcal parameters.

Neste minicurso veremos através de exemplos, porque os espaços de Lebesgue $L^1$ (e $L^p, p<1$) são pobres –no sentido de análise funcional. Proporemos um importante substituto que apareceu há mais de 100 anos com contribuições importantes de Hardy, Fatou, os irmãos Riesz, entre outros e mais recentemente de Fefferman, Stein, Latter para citar alguns. Os espaços de Hardy, como são conhecidos hoje, constituem um importante substituto dos espaços $L^p$ de Lebesgue quando $p\le1$ pois são indistinguíveis do ponto de vista dos espaços vetoriais topológicos quando $p>1$. Esta e outras importantes propriedades destes espaços serão vistas e, dependendo da velocidade do desenrolar do minicurso, avanços recentes no campo das EDP’s em conexão com Análise Harmônica e Várias Variáveis Complexas serão abordados.

The theory of nonlocal operators, in particular the fractional Laplacian, has attracted great attention and has had a significant development in recent years. The significant advances not only in the study of elliptic fractional equations but also in the evolution equations have been a result of important contributions by mathematicians of the highest reputation, like Luis Caffarelli, among others. This short course presents recent and still developing topics, addressing issues of regularity, existence of solutions, uniqueness, important inequalities, etc., around problems involving fractional partial differential equations.

Probably the three main open problems in the qualitative theory of ordinary differential equations (ODEs) in the plane are the determination of the number of the limit cycles and their distribution in the plane; the distinction between a critical point of center typer and a focus type, called the center problem; and the determination of first integrals of a given system of ODEs. This course deals with these three problems for the class of planar polynomial ODEs. The goal is introduce the main concepts and results used to investigate such problems and discuss some recent results about these subjects.

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Provavelmente os três principais problemas em aberto na teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias (EDOs) planares são a determinação do número de ciclos limite e sua distribuição no plano; a distinção entre um ponto singular do tipo centro e um foco, chamado de problema do foco-centro; e a determinação das primeiras integrais de um sistema de EDOs. Este mini-curso vamos abordar destes três problemas para a classe das EDOs planares polinomiais. Nosso objetivo é apresentar os principais conceitos e resultados empregados na investigação destes três importantes problemas e discutir alguns resultados recentes sobre eles.