The separable quotient problem asks if every infinite dimensional Banach space has a separable (nontrivial) quotient. It has been answered positively for separable spaces by Johnson and Rosenthal, but it remains open in full generality. We will explore the combinatorial aspects of this problem in the context of nonseparable spaces.

In this talk we consider results about the local and global dynamics for two important dispersive-dissipative models with quadratic nonlinearities, which appear in different physical contexts. In particular, we consider the Schr ̈odinger-Debye and a generalized Gross-Pitaevskii systems and in both cases we will present interesting results about global well-posedness, formations of singularities and behavior of the solutions depending on the important physivcal parameters.

Ao longo da palestra iremos abordar a solução analítica multidimensional da equação de advecção-difusão e a sua evolução ao longo do tempo.
O modelo a ser apresentado utiliza transformadas integrais na sua derivação. Simulações numéricas de alguns cenários, considerando um problema de dispersão de poluentes, serão apresentadas.

Nesta palestra, apresentaremos resultados que mostram como a regularidade pode ser obtida em problemas elípticos não lineares via estimativas do tipo desigualdade de Harnack fraca quando, a princípio, esta regularidade manifesta-se apenas “de um lado”. Estes resultados incluem como casos particulares, o Teorema de Caffarelli, Kohn, Nirenberg e Spruck dos anos 80  assim como resultados relativamente recentes de regularidade obtidos em parceria com Alessio Figalli (ETH) e Ederson Braga (UFC). Este trabalho se desenvolve em colaboração com Edgard Pimentel (Universidade de Coimbra).

Neste minicurso veremos através de exemplos, porque os espaços de Lebesgue $L^1$ (e $L^p, p<1$) são pobres –no sentido de análise funcional. Proporemos um importante substituto que apareceu há mais de 100 anos com contribuições importantes de Hardy, Fatou, os irmãos Riesz, entre outros e mais recentemente de Fefferman, Stein, Latter para citar alguns. Os espaços de Hardy, como são conhecidos hoje, constituem um importante substituto dos espaços $L^p$ de Lebesgue quando $p\le1$ pois são indistinguíveis do ponto de vista dos espaços vetoriais topológicos quando $p>1$. Esta e outras importantes propriedades destes espaços serão vistas e, dependendo da velocidade do desenrolar do minicurso, avanços recentes no campo das EDP’s em conexão com Análise Harmônica e Várias Variáveis Complexas serão abordados.

The theory of nonlocal operators, in particular the fractional Laplacian, has attracted great attention and has had a significant development in recent years. The significant advances not only in the study of elliptic fractional equations but also in the evolution equations have been a result of important contributions by mathematicians of the highest reputation, like Luis Caffarelli, among others. This short course presents recent and still developing topics, addressing issues of regularity, existence of solutions, uniqueness, important inequalities, etc., around problems involving fractional partial differential equations.

Probably the three main open problems in the qualitative theory of ordinary differential equations (ODEs) in the plane are the determination of the number of the limit cycles and their distribution in the plane; the distinction between a critical point of center typer and a focus type, called the center problem; and the determination of first integrals of a given system of ODEs. This course deals with these three problems for the class of planar polynomial ODEs. The goal is introduce the main concepts and results used to investigate such problems and discuss some recent results about these subjects.

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Provavelmente os três principais problemas em aberto na teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias (EDOs) planares são a determinação do número de ciclos limite e sua distribuição no plano; a distinção entre um ponto singular do tipo centro e um foco, chamado de problema do foco-centro; e a determinação das primeiras integrais de um sistema de EDOs. Este mini-curso vamos abordar destes três problemas para a classe das EDOs planares polinomiais. Nosso objetivo é apresentar os principais conceitos e resultados empregados na investigação destes três importantes problemas e discutir alguns resultados recentes sobre eles.